Integral de \( \csc^3(x) \)

Derivación y evaluación

Evalúa la integral:

\[ \int \csc^3(x) \, dx \]

Escribe el integrando \( \csc^3(x) \) como el producto \( \csc x \csc^2 x \):

\[ \int \csc^3(x) \, dx = \int \csc x \csc^2 x \, dx \]

Utiliza la integración por partes dada por: \( \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \).

Sean \( u' = \csc^2 x \) y \( v = \csc x \), lo que da \( u = -\cot x \) y \( v' = -\csc x \cot x \).

Al sustituir en la fórmula de integración por partes se obtiene:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = (-\cot x)(\csc x) - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx \]

Simplifica la expresión:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \) para reescribir la integral:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int (\csc^2 x - 1) \csc x \, dx \]

Desarrolla el integrando:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \int \csc x \, dx \]

Utiliza la integral estándar \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| \) y sustitúyela en la expresión:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \ln|\csc x - \cot x| \]

Suma \( \displaystyle \int \csc^3 x \, dx \) a ambos lados y simplifica:

\[ 2 \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x + \ln|\csc x - \cot x| \]

Multiplicando todos los términos por \( \dfrac{1}{2} \) y agregando la constante de integración \( c \), obtenemos la respuesta final: